LeetCode62-不同路径

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题目链接

英文链接：https://leetcode.com/problems/unique-paths/

中文链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

题目详述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

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例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明： m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

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输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

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输入: m = 7, n = 3
输出: 28

题目详解

动态规划。

  • 设 dp[i][j] 为走到位置 (i, j) 处的路径总数。
  • 则 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]。
  • 因为 dp[i][j] 只与 dp[i][j - 1] 和 dp[i - 1][j] 有关，可以利用滚动数组来压缩空间。
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public class LeetCode_00062 {

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

实际上，这是一个组合问题，答案为 C(m + n - 2, m - 1) 或 C(m + n - 2, n - 1)。可用如下递推公式进行计算。

组合递推公式.gif

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public class LeetCode_00062 {

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int k = Math.min(m, n) - 1;
        n = m + n - 2;
        long res = 1;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            res = res * (n - i + 1) / i;
        }
        return (int) res;
    }
}