LeetCode115-不同的子序列

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题目链接

英文链接：https://leetcode.com/problems/distinct-subsequences/

中文链接：https://leetcode-cn.com/problems/distinct-subsequences/

题目详述

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，”ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

示例 1:

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输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"
输出: 3
解释:

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2:

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输入: S = "babgbag", T = "bag"
输出: 5
解释:

如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 "bag" 的方案。 
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

题目详解

可以换一种思考的方式：用 S 中的字符，按顺序匹配 T 中的字符，问有多少种方式可以匹配完 T 中的所有字符。可以运用动态规划解答。

  • f[i][j] 表示用 S 的前 i 个字符，能匹配完 T 的前 j 个字符的方案数。
  • 初始化 f[i][0] = 1， 0 <= i <= len(S)，这是因为 T 为空，从任意一个字符开始匹配即可。
  • 状态转移方程：
    • 如果 S[i - 1] != T[j - 1]，则 S[i - 1] 不能匹配 T[j - 1]，所以 f[i][j] = f[i - 1][j]。
    • 如果 S[i - 1] == T[j - 1]，则 S[i - 1] 可以选择匹配 T[j - 1]，也可以选择不匹配，所以 f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]。
  • 假设 S 的长度是 m，T 的长度是 n，则共有 m*n 个状态，状态转移的复杂度是 O(1)，所以时间复杂度是 O(mn)。
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public class LeetCode_00115 {

    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m = s.length(), n = t.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

对 i 而言，由于当前状态只与上一层状态有关，可以对状态进行压缩，将空间复杂度从二维降为一维。dp[i][j] 会用到 dp[i - 1][j] 和 dp[i - 1][j - 1]，为了避免覆盖 dp[i - 1][j - 1]，j 的循环应该逆序。

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public class LeetCode_00115 {

    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m = s.length(), n = t.length();
        int[] f = new int[n + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = n; j >= 1; --j) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    f[j] += f[j - 1];
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
}